Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx （x∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)建立等式關(guān)系，化簡(jiǎn)可得log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，從而x=-2kx對(duì)x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）要使方程f（x）-m=0有解，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域，將m分離出來(lái)得m=log4

4x+1

2x

=log4(2x+

1

2x

)．，然后利用基本不等式2x+

1

2x

≥2求出m的范圍即可．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函數(shù)．
可知f（x）=f（-x）
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx（（2分）
即log4

4x+1

4-x+1

=-2kx
∴l(xiāng)og₄4^x=-2kx（4分）
∴x=-2kx對(duì)x∈R恒成立．（6分）
∴k=-

1

2

．（7分）
（2）由m=f(x)=log4(4x+1)-

1

2

x，
∴m=log4

4x+1

2x

=log4(2x+

1

2x

)．（9分）∵2x+

1

2x

≥2（11分）
∴m≥

1

2

（13分）
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范圍：m≥

1

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及根的個(gè)數(shù)的判定和基本不等式等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．