Question

一次圍棋擂臺賽，由一位職業(yè)圍棋高手設(shè)擂做擂主，甲、乙、丙三位業(yè)余圍棋高手攻擂．如果某一業(yè)余棋手獲勝，或者擂主戰(zhàn)勝全部業(yè)余棋手，則比賽結(jié)束．已知甲、乙、丙三人戰(zhàn)勝擂主的概率分別為p₁，p₂，p₃，每人能否戰(zhàn)勝擂主是相互獨(dú)立的．
（1）求這次擂主能成功守擂（即戰(zhàn)勝三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺賽共進(jìn)行了x次比賽，求x得數(shù)學(xué)期望；
（3）假定p₃＜p₂＜p₁＜1，試分析以怎樣的先后順序出場，可使所需出場人員數(shù)的均值（數(shù)學(xué)期望）達(dá)到最小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）設(shè)擂主能成功守擂的事件為A，三人攻擂獲勝的事件為B_i，i=1，2，3，
則P（B_i）=p_i，
三人攻擂均失敗的概率為（1﹣p₁）（1﹣p₂）（1﹣p₃）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1﹣p₁）（1﹣p₂）（1﹣p₃）
（2）比賽場數(shù)X=1，2，3．
X=1，比賽一場結(jié)束，則第一位業(yè)余棋手就獲勝，其概率為P（X=1）=p₁；
X=2，比賽二場結(jié)束，則第一位業(yè)余棋手攻擂失敗，第二位勝利，其概率是P（X=2）
=（1﹣p₁） p₂；
X=3，比賽三場結(jié)束，則第一，二位業(yè)余棋手攻擂失敗，其概率為
P（X=3）=（1﹣p₁）（1﹣p₂），
E（X）=p₁+2（1﹣p₁） p₂+3（1﹣p₁）（1﹣p₂）=3﹣2p₁﹣p₂+p₁p₂．
（3）答按獲勝概率從大到小的順序出場，則所需出場人員數(shù)的均值為最小
下面證明以上結(jié)論．
設(shè)q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一個排列，如果按q₁，q₂，q₃有順序出場，
由（2）可得期望 E（X）=3﹣2q₁﹣q₂+q₁q₂．
因?yàn)椤?（3﹣2q₁﹣q₂+q₁q₂）﹣（3﹣2p₁﹣p₂+p₁p₂）=2（p₁﹣q₁）+（p₂﹣q₂）+q₁q₂﹣p₁p₂
=2（p₁﹣q₁）+（p₂﹣q₂）﹣（p₁﹣q₁）p₂﹣（p₂﹣q₂）q₁=（2﹣p₂） （p₁﹣q₁）+
（p₂﹣q₂）（1﹣q₁）≥（1﹣q₁）（ p₁﹣q₁）+（p₂﹣q₂）（1﹣q₁）
=（1﹣q₁）[（p₁+p₂）﹣（q₁+q₂）]≥0．等號成立當(dāng)且僅當(dāng)q₁=p₁，q₂=p₂．
所以，按獲勝概率從大到小的順序出場，所需出場人員數(shù)的均值為最小．