Question

若向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），已知函數(shù)f（x）=

m

•

n

（ω＞0）的周期為

π

2

（1）求ω的值、函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、函數(shù)f（x）的零點(diǎn)、函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足b²=ac，且邊b所對(duì)的角為x，求此時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用周期公式及已知周期求出ω的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、函數(shù)f（x）的零點(diǎn)、函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）利用余弦定理表示出cosx，將已知等式代入并利用基本不等式變形求出cosx的范圍，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)確定出這個(gè)角的范圍，再利用正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵f（x）的周期為

π

2

，ω＞0，
∴

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2，即f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
令-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：-

π

12

+

kπ

2

≤x≤

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
令4x-

π

6

=kπ，k∈Z，得f（x）的零點(diǎn)為：x=

kπ

4

+

π

24

，k∈Z；
令4x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得到f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=

kπ

4

+

π

6

，k∈Z；
（2）由題意得：cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵0＜x＜π，∴0＜x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤4x-

π

6

≤

7π

6

，即-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，
∴-1≤sin（4x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
則f（x）的值域?yàn)閇-1，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及余弦定理，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．