Question

函數(shù)f（x）在定義域R上不是常數(shù)函數(shù)，且f（x）滿足對任意x∈R，有f（4+x）=f（4-x），f（x+1）=f（x-1），則f（x）是（　�。�

A．奇函數(shù)但非偶函數(shù)

B．偶函數(shù)但非奇函數(shù)

C．奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．非奇非偶函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)f（4+x）=f（4-x），可以確定函數(shù)的對稱性，再根據(jù)f（x+1）=f（x-1），可以確定函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可得到答案．

解答：解：∵f（4+x）=f（4-x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=4，
又f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為T=2，
∴x=0也為函數(shù)f（x）的對稱軸，
∴f（x）為偶函數(shù)，
又∵f（x）在R上不是常數(shù)函數(shù)，故f（x）不恒為0，
∴f（x）為偶函數(shù)但不是奇函數(shù)．
故選B．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性與對稱性和周期性的關(guān)系．函數(shù)的奇偶性一個是從定義判斷，也可以從圖象的對稱性上進(jìn)行判斷．另外要注意既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的為常數(shù)函數(shù)f（x）=0．屬于基礎(chǔ)題．