Question

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,并且滿(mǎn)足f(2+x)=f(2-x).?

(1)證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).

(2)若f(x)又是偶函數(shù),且x∈［0,2］時(shí),f(x)=2x-1,求x∈［-4,0］時(shí)f(x)表達(dá)式.

Answer 1

解析:(1)證明:設(shè)P(x₀,y₀)是函數(shù)y=f(x)圖象上的一點(diǎn)，則有y₀=f(x₀).點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)應(yīng)為(4-x₀,y₀).?

∵f(4-x₀)=f［2+(2-x₀)］=f［2-(2-x₀)］=f(x₀),?

∴點(diǎn)P′也在函數(shù)y=f(x)的圖象上.?

∴函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng).

(2)解:由f(x)=2x-1,x∈［0，2］及f(x)為偶函數(shù)，可知f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈［-2，0］；當(dāng)x∈［2，4］時(shí)，由f(x)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，用4-x代入f(x)=2x-1,可得f(4-x)?=f(x)=2(4-x)-1=-2x+7,其中x∈［2，4］，再由f(x)為偶函數(shù)，得f(x)=2x+7,x∈［-4，-2］，所以所求f(x)的表達(dá)式為分段函數(shù):?