Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OF₁為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，則當(dāng)△PF₁F₂的面積等于a²時(shí)，雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  6

  2

• D、2

Answer 1

分析：先設(shè)F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，進(jìn)而在RT△PF₁F₂中結(jié)合雙曲線的定義和△PF₁F₂的面積，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的簡單性質(zhì)求得a，c之間的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．

解答：解：設(shè)F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根據(jù)曲線的定義得：
F₁P-F₂P=2a，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4a²
 從而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4a²
∴F₁P×F₂P=2（c²-a²）
又當(dāng)△PF₁F₂的面積等于a²
即

1

2

F₁P×F₂P=a²
2（c²-a²）=a²
∴c=

2

a，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

2

．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．屬基礎(chǔ)題．