Question

【題目】已知函數(shù)且，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn) .

(1) 求滿足的關(guān)系式，并討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知，若函數(shù)在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)或或.

【解析】分析：(1)根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn) .可得到，求出的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2) 令 ，問題等價(jià)函數(shù)在]與軸只有唯一的交點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．

詳解：

（1），

∴，，

∴切線方程為：，

∵切線過點(diǎn)， ∴，

∴，

①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．

（2）等價(jià)方程 在只有一個(gè)根，

即在只有一個(gè)根，

令，等價(jià)函數(shù)在與軸只有唯一的交點(diǎn)，

∴

①當(dāng)時(shí)，在遞減，的遞增，

當(dāng)時(shí)，，要函數(shù)在與軸只有唯一的交點(diǎn)，

∴或，

∴或.

②當(dāng)時(shí)，在遞增，的遞減，遞增，

∵，當(dāng)時(shí)，，

∴在與軸只有唯一的交點(diǎn)，

③當(dāng)，在的遞增，

∵，

∴在與軸只有唯一的交點(diǎn)，

故的取值范圍是或 或．