Question

已知曲線(xiàn)C：x

1

2

+y

1

2

=1，給出下列四個(gè)命題：
①曲線(xiàn)C與兩坐標(biāo)圍成的圖形面積不大于

1

2

②曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為

2

4

③曲線(xiàn)C關(guān)于點(diǎn)（

1

4

，

1

4

）中心對(duì)稱(chēng)
④當(dāng)x≠0，1時(shí)，曲線(xiàn)C上所有點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為負(fù)值
其中正確命題個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：利用曲線(xiàn)方程的特點(diǎn)結(jié)合曲線(xiàn)的圖象分別進(jìn)行判斷即可．

解答：曲線(xiàn)方程為

x

+

y

=1，(0≤x≤1，0≤y≤1)，交換x，y的位置后曲線(xiàn)方程不變，所以曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，且在第一象限內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)（

1

4

，

1

4

）在曲線(xiàn)上，由圖象可知曲線(xiàn)在直線(xiàn)y=-x+1的下方，且為凹函數(shù)如圖：
由以上分析可知：①曲線(xiàn)C與兩坐標(biāo)圍成的圖形面積不大于

1

2

，正確．
②曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為

2

4

，②正確．
③因?yàn)辄c(diǎn)（

1

4

，

1

4

）在曲線(xiàn)上，所以由圖象可知關(guān)于點(diǎn)（

1

4

，

1

4

）在曲線(xiàn)上，不對(duì)稱(chēng)所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)楹瘮?shù)為凹函數(shù)，所以當(dāng)x≠0，1時(shí)，曲線(xiàn)C上所有點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為負(fù)值，所以④正確
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查曲線(xiàn)方程的性質(zhì)的判斷和推理，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)難度較大．