Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果關(guān)于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，可得|x-1|+|x+1|≥3，分①當(dāng)x≤-1時(shí)，②當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，③當(dāng)x≥1時(shí)，分別求出解集，再取并集即得
所求．
（Ⅱ）由題意可得 f（x）_min≤2，由絕對(duì)值的意義可得f（x）_min=|a-1|，故有|a-1|≤2，由此求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+1|． 由f（x）≥3得，|x-1|+|x+1|≥3．
①當(dāng)x≤-1時(shí)，不等式化為1-x-1-x≥3，即x≤-

3

2

．
所以，原不等式的解為x≤-

3

2

．（1分）
②當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，不等式化為1-x+1+x≥3，即2≥3．
所以，原不等式無解．（2分）
③當(dāng)x≥1時(shí)，不等式化為-1+x+1+x≥3，即x≥

3

2

．
所以，原不等式的解為x≥

3

2

．（3分）
綜上，原不等式的解為(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2．（5分）
因?yàn)閨x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到x=1與x=a兩點(diǎn)的距離之和，
所以，f（x）_min=|a-1|．（6分）  
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范圍為[-1，3]．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．