Question

(1)連結(jié)正方體的相鄰各面的中心(所謂中心是指各面所在正方形的兩條對角線的交點(diǎn))，所得的一個幾何體是幾面體？并畫圖表示該幾何體．

(2)連結(jié)上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問所得的幾何體又是幾面體？

Answer 1

【探究】 連結(jié)相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖，再作出判斷．

(1)先畫出正方體，然后取各個面的中心，并依次連成線觀察即可．

如圖,正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O₁、O₂、O₃、O₄、O₅、O₆分別是各表面的中心．由點(diǎn)O₁、O₂、O₃、O₄、O₅、O₆組成了一個八面體，而且該八面體共有6個頂點(diǎn)，12條棱．該多面體的圖形如圖中的右圖所示．

(2)六面體(正方體)．

【規(guī)律總結(jié)】 為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)畫得“正”些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的O₁O₅、O₆O₅、O₅O₂、O₅O₄應(yīng)畫成虛線．

    本題中的八面體，事實(shí)上是正八面體——八個面都是有相同邊數(shù)的正三角形，并且以每個頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱．由圖還可見，該八面體可看成是由兩個全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間一個四邊形O₂O₃O₄O₅還是正方形，當(dāng)然其他的如O₁O₂O₆O₄等也是正方形．

     事實(shí)上，由正方體的部分頂點(diǎn)可構(gòu)成多種形狀的簡單幾何體．如多面體ACB₁D₁便為四面體，即三棱錐，它是面數(shù)最少的空間幾何體，而且該四面體也是正四面體；又如多面體A₁ABD也是四面體，它是一個直角四面體，它也可看作是由正方體截下一個角所得的幾何體，且截面是一個銳角三角形．