Question

（2012•甘谷縣模擬）（文）數(shù)列{a_n}滿足an+1=

n+2

n

an（n∈N^*），且a₁=1．（1）求通項(xiàng)a_n；（2）記bn=

1

an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由∴

an+1

an

=

n+2

n

，利用疊乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)
（2）由bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)相消法可求數(shù)列的和

解答：解（1）∵an+1=

n+2

n

an，
∴

an+1

an

=

n+2

n

∵a₁=1
∴

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

…

an

an-1

=

n+1

n-1

以上n-1個(gè)式子相乘可得，

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=

3

1

×

4

2

×

5

3

…

n-1

n-3

×

n

n-2

×

n+1

n-1

∴

an

a1

=

n(n+1)

1×2

∴a_n=

n(n+1)

2

（2）∵bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式求解中的疊乘法及數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用．