Question

設(shè)數(shù)列滿足，令．
（Ⅰ）證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比數(shù)列，試確定m，n的值．

Answer 1

（I ）證明：∵
∴=
∴
∵．
∴，
∴{b_n}是以為公差，以為首項(xiàng)的等差數(shù)列
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，
（Ⅱ）解：由（1）知，
存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比數(shù)列
則，整理可得（m²-1）²=12（n²-1）
左面（m²-1）²是完全平方數(shù)，則12（n²-1）=4×3（n²-1）²也一定是完全平方數(shù)
∴n²-1可設(shè)為3k，k∈N^*，且k是完全平方數(shù)n≤10，
∴n²=3k+1
∴當(dāng)k=1時(shí)，n=2，m不存在
當(dāng)k=4時(shí)，n不存在
當(dāng)k=9時(shí)，n不存在
當(dāng)k=16時(shí)，m=5，n=7
綜上可得k=16時(shí)，m=5，n=7
分析：由已知可得=，即可得，，可證
（Ⅱ）由（1）知，代入可得（m²-1）²=12（n²-1），結(jié)合左面是完全平方數(shù)，則n²-1可設(shè)為3k，
則n²=3k+1，檢驗(yàn)可求k，進(jìn)而可求m，n
點(diǎn)評：本題主要考查了利用構(gòu)造證明等差數(shù)列，及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解答（II）要求考生具備一定綜合應(yīng)用知識(shí)解決綜合問題的能力．