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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知O為坐標原點,向量
          OA
          =(sinα,1),
          OB
          =(cosα,0),
          OC
          =(-sinα,2),點P滿足
          AB
          =
          BP

          (1)記f(α)=
          BP
          CA
          ,α∈(-
          π
          8
          ,
          π
          2
          ),求函數f(α)的值域;
          (2)若O,P,C三點共線,求|
          OA
          +
          OB
          |的值.
          分析:(1)設出P的坐標,由向量的坐標得到點的坐標,再由點的坐標求出所用向量的坐標,結合
          AB
          =
          BP
          求出P的坐標,代入f(α)=
          BP
          CA
          化簡,由α的范圍可求函數f(α)的值域;
          (2)由O,P,C三點共線,由向量共線的充要條件求出tanα的值,結合|
          OA
          +
          OB
          |=
          sin2α+2
          ,利用萬能公式,代入即可求出|
          OA
          +
          OB
          |的值.
          解答:解:(1)設點P的坐標為(x,y),
          OA
          =(sinα,1),
          OB
          =(cosα,0),
          OC
          =(-sinα,2),
          ∴A(sinα,1),B(cosα,0),C(-sinα,2),
          AB
          =(cosα-sinα,-1),
          BP
          =(x-cosα,y),
          AB
          =
          BP
          ,得cosα-sinα=x-cosα,y=-1.
          ∴x=2cosα-sinα,y=-1,
          ∴點P的坐標為(2cosα-sinα,-1),
          BP
          =(cosα-sinα,-1)
          ,
          CA
          =(2sinα,-1)

          則f(α)=
          BP
          CA

          =2sinαcosα-2sin2α+1
          =sin2α+cos2α
          =
          2
          sin(2α+
          π
          4
          )

          ∵α∈(-
          π
          8
          ,
          π
          2
          ),∴2α+
          π
          4
          ∈(0,
          4
          )
          ,
          ∴f(α)∈(-1,
          2
          ];
          (2)∵O,P,C三點共線,
          ∴-1×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),
          ∴tanα=
          4
          3

          ∴sin2α=
          2tanα
          1+tan2α
          =
          24
          25
          ,
          ∴|
          OA
          +
          OB
          |=
          (sinα+cosα)2+1
          =
          sin2α+2
          =
          74
          5
          點評:本題考查的知識點是平面向量數量積的坐標表示,正弦型函數的單調性,兩角和與差的正弦,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三點共線,解題的關鍵是根據向量共線的充要條件求出tanα的值,是中檔題.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2010•黃岡模擬)已知O為坐標原點,向量
          OA
          =(sinα,1),
          OB
          =(cosα,0),
          OC
          =(-sinα,2),點P是直線AB上的一點,且點B分有向線段
          AP
          的比為1.
          (1)記函數f(α)=
          PB
          CA
          ,α∈(-
          π
          8
          π
          2
          ),討論函數f(α)的單調性,并求其值域;
          (2)若O,P,C三點共線,求|
          OA
          +
          OB
          |的值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知O為坐標原點,
          OA
          =(2sin2x,1),
          OB
          =(1,-2
          3
          sinxcosx+1)
          ,f(x)=-
          1
          2
          OA
          OB
          +1

          (1)求y=f(x)的最小正周期;
          (2)將f(x)圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標擴大為原來的兩倍,再將所得圖象向左平移
          π
          6
          個單位后,所得圖象對應的函數為g(x),且α∈[
          π
          6
          ,  
          3
          ],  β∈(-
          6
          ,-
          π
          3
          )
          ,g(α)=
          3
          5
          ,  g(β)=-
          4
          5
          ,求cos2(α-β)-1的值.

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          科目:高中數學 來源:2012年四川省高考數學壓軸卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知O為坐標原點,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),點P是直線AB上的一點,且點B分有向線段的比為1.
          (1)記函數f(α)=,α∈(-),討論函數f(α)的單調性,并求其值域;
          (2)若O,P,C三點共線,求|+|的值.

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          科目:高中數學 來源:2009-2010學年湖北省“黃岡中學、黃石二中、華師一附中、荊州中學、孝感高中、襄樊四中、襄樊五中、鄂南高中”八校高三第一次聯考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知O為坐標原點,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),點P是直線AB上的一點,且點B分有向線段的比為1.
          (1)記函數f(α)=,α∈(-,),討論函數f(α)的單調性,并求其值域;
          (2)若O,P,C三點共線,求|+|的值.

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          科目:高中數學 來源:2011-2012學年重慶市高三11月月考文科數學 題型:解答題

          (本小題滿分12分) (Ⅰ)小問7分,(Ⅱ)小問5分.)

          已知O為坐標原點,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),點P是直線AB上的一點,且點B分有向線段的比為1.

          (1)記函數f(α)=·,α∈,討論函數f(α)的單調性,并求其值域;

          (2)若O、P、C三點共線,求|+|的值.

           

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