Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，要使函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需方程有且只有一個(gè)根，即只需關(guān)于x的方程在上有且只有一個(gè)解，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理，即可得答案；

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，，

，，

所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是．

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

要使函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需方程有且只有一個(gè)根，

即只需關(guān)于x的方程在上有且只有一個(gè)解．

設(shè)函數(shù)，

則，

令，

則/span>，

由，得．

x
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由于，

所以，

所以在上單調(diào)遞增，

又，，

①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)，由于，所以存在唯一零點(diǎn)．

綜上所述，對任意的函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．