Question

【題目】如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF⊥BC；
（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

易得B（0，0，0），A（0，﹣1， ），D（ ，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0， ， ），F(xiàn)（ ， ，0），所以 =（ ，0，﹣ ）， =（0，2，0），因此 =0，所以EF⊥BC．

（2）解：在圖中，設(shè)平面BFC的一個法向量 =（0，0，1），平面BEF的法向量 =（x，y，z），又 =（ ， ，0）， =（0， ， ），

由 得其中一個 =（1，﹣ ，1），

設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ，由題意知θ為銳角，則

cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |= ，

因此sinθ= = ，即所求二面角正弦值為 ．

【解析】（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到E、F、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得此 =0，所以EF⊥BC；（2）設(shè)平面BFC的一個法向量 =（0，0，1），平面BEF的法向量 =（x，y，z），依題意，可求得一個 =（1，﹣ ，1），設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ，可求得sinθ的值．