已知橢圓C:+
=1(a>b>0)的離心率為
,過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)l的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為
.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有=
+
成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)P(
,±
),
x±y-
=0.
解析試題分析:(Ⅰ) 先利用點(diǎn)到直線的距離公式求,再利用離心率求
,最后利用參數(shù)的關(guān)系求
;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)利用方程組消元后得根與系數(shù)關(guān)系,然后代入題中條件化簡(jiǎn)可求.
試題解析:(Ⅰ) 設(shè)F(c,0),當(dāng)l的斜率為1時(shí),其方程為x-y-c=0,
∴O到l的距離為,
由已知,得=
,∴c=1.
由e==
,得a=
,b=
=
. 4分
(Ⅱ)假設(shè)C上存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有=
+
成立,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(x1+x2,y1+y2).
由(Ⅰ),知C的方程為+
=1.
由題意知,l的斜率一定不為0,故不妨設(shè)l:x=ty+1.
由,消去x并化簡(jiǎn)整理,得(2t2+3)y2+4ty-4=0.
由韋達(dá)定理,得y1+y2=-,
∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2=-+2=
,
∴P(,-
).
∵點(diǎn)P在C上,∴+
=1,
化簡(jiǎn)整理,得4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得t2=.
當(dāng)t=時(shí),P(
,-
),l的方程為
x-y-
=0;
當(dāng)t=-時(shí),P(
,
),l的方程為
x+y-
=0.
故C上存在點(diǎn)P(,±
),使
=
+
成立,此時(shí)l的方程為
x±y-
=0. 13分
考點(diǎn):橢圓的基本概念,點(diǎn)到直線的距離,根與系數(shù)關(guān)系,設(shè)而不求的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓過(guò)點(diǎn)
,離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)且斜率為
(
)的直線
與橢圓
相交于
兩點(diǎn),直線
、
分別交直線
于
、
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
.記直線
的斜率為
,求證:
為定值.
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已知橢圓的離心率為
,且過(guò)點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)C(-1,0)且斜率為的直線
與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)
,試問(wèn)在
軸上是否存在點(diǎn)
,使
是與
無(wú)關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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已知點(diǎn)是橢圓
:
上一點(diǎn),
分別為
的左右焦點(diǎn)
,
,
的面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),過(guò)點(diǎn)
作直線
,交橢圓
異于
的
兩點(diǎn),直線
的斜率分別為
,證明:
為定值.
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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為
,離心率為
.若直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
、
,以線段
為直徑作圓
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與
軸相切,求圓
被直線
截得的線段長(zhǎng).
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已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,且雙曲線
的漸近線與圓
相切.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)是雙曲線
的右焦點(diǎn),
是雙曲線
的右支上的任意一點(diǎn),試判斷以
為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線
上任意一點(diǎn)到點(diǎn)
的距離與到直線
的距離相等.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè),
是
軸上的兩點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
分別作
軸的垂線,與曲線
分別交于點(diǎn)
,直線
與x軸交于點(diǎn)
,這樣就稱
確定了
.同樣,可由
確定了
.現(xiàn)已知
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn),以HF、GE所在直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).若R、R′分別在線段0F、CF上,且
.
(Ⅰ)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓:
+
=1上;
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn),且直線GM與直線GN的斜率之積為
,求證:直線MN過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
給定橢圓:
,稱圓心在原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“準(zhǔn)圓”.若橢圓
的一個(gè)焦點(diǎn)為
,且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到
的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓
的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)
作直線
,使得
與橢圓
都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷
是否垂直,并說(shuō)明理由.
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