Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)E，連接ME, CE．

∵M(jìn), N分別為PA, BC的中點(diǎn)，

∴，，∴，

∴MNCE是平行四邊形，∴MN∥CE，……………2分

∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，

∴MN∥平面PCD．…………………………………2分

（Ⅱ）作NF⊥AC于F，連接MF．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN與平面PAC所成的角．………2分

在Rt△MFN中，，，，∴，

∴．

 

 

【解析】略