Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2bx+a（a，b∈R）
（1）若a從集合{0，1，2，3}中任取一個(gè)元素，b從集合{0，1，2，3}中任取一個(gè)元素，求方程f（x）=0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；
（2）若b從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，a從區(qū)間[0，3]中任取一個(gè)數(shù)，求方程f（x）=0沒有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有16種情況，又因?yàn)榉匠逃袃蓚�(gè)不相等的根，所以根的判別式大于零得到a＞b，而a＞b占6種情況，所以方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率P=0.5；
（2）由a從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個(gè)數(shù)得試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0沒有實(shí)根構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分別求出兩個(gè)區(qū)域面積即可得到概率．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2，3}中任一元素
∴a、b的取值情況的基本事件總數(shù)為16．
設(shè)“方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，
當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為b＞a，且a≠0．
當(dāng)b＞a時(shí)，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）
即A包含的基本事件數(shù)為3．
∴方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率P（A）=

3

16

；
（2）∵b從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，a從區(qū)間[0，3]中任取一個(gè)數(shù)
則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×3=6
設(shè)“方程f（x）=0沒有實(shí)根”為事件B，
則事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，
其面積S_M=6-

1

2

×2×2=4，
由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f（x）=0沒有實(shí)根的概率P（B）=

S   M

SΩ

=

4

6

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以一元二次方程的根為載體，考查古典概型和幾何概型，屬基礎(chǔ)題．