Question

頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線經(jīng)過(guò)A（1，1），過(guò)A作拋物  線的切線交x軸于B₁，過(guò)B₁點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于A₁，過(guò)A₁作拋物線的切線交x軸于B₂，…，過(guò)A_n（x_n，y_n）作拋物線的切線交x軸于B_n+1（x_n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a_n=+，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＞2n-．
（3）設(shè)b_n=1-log₂y_n，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得拋物線方程為y=x²，y^′=2x，設(shè)過(guò)點(diǎn)A_n（x_n，y_n）的切線為y-x_n²=2x_n（x-x_n），令y=0和x=0，即可求出{x_n}，{y_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知x_n=，代入可得a_n=+=+=2-（-），從而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，于是結(jié)論即可證得．
（3）由于y_n=，可得b_n=2n+1，則可得不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，分離系數(shù)a，可得a≤（1+）（1+）…（1+），然后令f（n）=（1+）（1+）…（1+），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解決a的取值范圍．
解答：解：（1）由已知得拋物線方程為y=x²，y^′=2x，
則設(shè)過(guò)點(diǎn)A_n（x_n，y_n）的切線為y-x_n²=2x_n（x-x_n），
令y=0，x=，故x_n-1=，
又x=1，∴x_n=，y_n=，
（2）證明：由（1）知x_n=，
所以a_n=+=+=2-（-），
由于＜，＞，
得-＜-，
∴a_n=2-（-）＞2-（-），
從而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（-）+（-）+…+（-）]=2n-（）＞2n-，
即T_n＞2n-，
（3）由于y_n=，故b_n=2n+1，
對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a，
a≤（1+）（1+）…（1+）恒成立，
設(shè)f（n）=（1+）（1+）…（1+），
∴f（n+1）=（1+）（1+）…（1+）（1+），
=•（1+）=•==＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）為遞增，
∴f（n）_min=f（1）=•=，
∴0＜a≤．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與解析幾何綜合的知識(shí)點(diǎn)，本題是一道綜合性比較強(qiáng)的習(xí)題，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出數(shù)列{x_n}，{y_n}的通項(xiàng)公式，熟練利用函數(shù)單調(diào)性求最值等知識(shí)點(diǎn)，此題難度較大．