Question

甲、乙兩個射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，甲擊中目標(biāo)的概率為，乙擊中目標(biāo)的概率為，每人各射擊兩發(fā)子彈為一個“單位射擊組”，若甲擊中目標(biāo)的次數(shù)比乙擊中目標(biāo)的次數(shù)多，則稱此組為“單位進(jìn)步組”．
（1）求一個“單位射擊組”為“單位進(jìn)步組”的概率；
（2）記完成三個“單位射擊組”后出現(xiàn)“單位進(jìn)步組”的次數(shù)ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）由題意知每人各射擊兩發(fā)子彈，若甲擊中目標(biāo)的次數(shù)比乙擊中目標(biāo)的次數(shù)多，
則稱此組為“單位進(jìn)步組”．甲擊中目標(biāo)一次和兩次都有對應(yīng)乙不如甲，而甲是單位進(jìn)步組”，
設(shè)甲擊中目標(biāo)2次時為“單位進(jìn)步組”的概率為P₁，
則P₁==
設(shè)甲擊中目標(biāo)1次時為“單位進(jìn)步組”的概率為P₂，
則=．
故一個“單位射擊組”成為“單位進(jìn)步組”的概率為P=P₁+P₂=．
（2）由（1）知，一個“單位射擊組”成為“單位進(jìn)步組”的概率P（A）=
不能成為“單位進(jìn)步組”的概率P（）=．
ξ可能取值為0，1，2，3．
根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得到結(jié)果，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==
P（ξ=2）==
P（ξ=3）==

∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．
分析：（1）由題意知每人各射擊兩發(fā)子彈，甲擊中目標(biāo)的次數(shù)比乙擊中目標(biāo)的次數(shù)多，甲擊中目標(biāo)一次和兩次都有對應(yīng)乙不如甲，而甲是單位進(jìn)步組”，而這兩種情況是互斥的，由互斥事件和獨立重復(fù)試驗公式得到結(jié)果．
（2）由上一問得到成為“單位進(jìn)步組”的概率，看出變量的可能情況，根據(jù)獨立重復(fù)試驗得到變量對應(yīng)的事件的概率，寫出分布列，算出期望．
點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．