Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的比值為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)為軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明滿足條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，3個(gè)

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)根據(jù)所給條件列出方程，化簡(jiǎn)即可.

（2）由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)所在直線的方程為，不妨設(shè)，則直線所在的方程為. 聯(lián)立直線與曲線方程，消元即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的長(zhǎng)，同理可得，再由得到方程，解得.

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，

所以，

平方并化簡(jiǎn)，得.

所以軌跡的方程為.

（2）存在. 理由如下：

由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)所在直線的方程為，不妨設(shè)，則直線所在的方程為.

聯(lián)立方程消去，并整理得，

解得，

將代入可得，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，則，解得或.

當(dāng)斜率時(shí)，斜率；當(dāng)斜率時(shí)，斜率；當(dāng)斜率時(shí)，斜率.

綜上所述，符合條件的三角形有3個(gè).