Question

（本小題滿分13分）已知數列{a_n}的前n項和為Sn，滿足關系式(2＋t)S_n＋1－tSn＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…)

(1)當a₁為何值時，數列{a_n}是等比數列；

(2)在(1)的條件下，設數列{a_n}的公比為f(t)，作數列{b_n}使b₁＝1，b_n＝f(b_n－1)(n＝2，

3，4，…)，求b_n；

(3)在(2)條件下，如果對一切n∈N_＋，不等式b_n＋b_n＋1＜恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

解析：(1)(2＋t)S_n＋1－tS_n＝2t＋4　　　�、�

n≥2時，(2＋t)S_n－tS_n－1＝2t＋4　　�、�

兩式相減：(2＋t)(S_n＋1－S_n)－t(S_n－S_n－1)＝0，

(2＋t)a_n＋1－ta_n＝0，＝．即n≥2時，為常數．

當n＝1時，(2＋t)S₂－tS₁＝2t＋4，

(2＋t)(a₂＋a₁)－ta₁＝2t＋4，解得a₂＝．

要使{a_n}是等比數列，必須＝­．

∴＝，解得a₁＝2．

(2)由(1)得，f(t)＝，因此有b_n＝，

即＝＋1，整理得＋1＝2(＋1)．

則數列{＋1}是首項為＋1＝2，公比為2的等比數列，＋1＝2?2^n－1＝2ⁿ，

b_n＝．

(3)把b_n＝，b_n＋1＝代入得：＋＜，

即c＞＋，

要使原不等式恒成立，c必須比上式右邊的最大值大．

∴＋＝＋＝＋＋，單調遞減．

∴＋的值隨n的增大而減小，則當n＝1時，＋取得最大值4．

因此，實數c的取值范圍是c＞4．