Question

已知二次函數f（x）滿足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
（1）求f（x）的解析式    
（2）求當x∈[0，a]（a為大于0的常數）時f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法設出f（x）=ax²+bx+c（a≠0），求出f（x+1）+f（x-1）應該是個關于a，b，x的代數式2ax²+2bx+2a+2c，與2x²-4x相同即可求解
（2）由（1）知函數的對稱軸方程為x=1，對a結合函數單調性進行分類，當0＜a＜1時，函數f（x）在[0，a]上為單調減函數，故f（x）的最小值為f（a），當a≥1時，函數f（x）過函數的最低點，故最小值為f（1）

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則有f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x
對任意實數x恒成立
∴

2a=2 2b=-4 2a+2c=0

解之得a=1，b=-2，c=-1
∴f（x）=x²-2x-1
（2）當0＜a＜1時，f（x）的最小值為f（a）=a²-2a-1
當a≥1時，f（x）的最小值為f（1）=-2

點評：本題考查了函數的最值及其幾何意義，函數解析式的求解及常用方法，還有分類討論的思想，屬于基礎題．