Question

（2013•廣州二模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿(mǎn)足|PH|＜

2

的概率；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的 距離為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，分別求出正方形的面積和滿(mǎn)足|PH|＜

2

的正方形內(nèi)部的點(diǎn)P的集合”的面積即可得出；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，共可得到

C

2 8

=28線段．這些線段的長(zhǎng)度ξ的所有可能取值分別為1，

2

，2，

5

，2

2

，找出相應(yīng)長(zhǎng)度的線段條數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，正方形的面積S_{正方形ABCD}=2×2=4．
設(shè)“滿(mǎn)足|PH|＜

2

的正方形內(nèi)部的點(diǎn)P的集合”為事件M，
則S（M）=S_△DGH+S_△AEH+S_扇形EGH=2×

1

2

×12+

1

2

×

2

×

π

2

×

2

=1+

π

2

．
∴P（M）=

1+ π 2

4

=

π

8

+

1

4

．
故滿(mǎn)足|PH|＜

2

的概率為

π

8

+

1

4

．
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，共可得到

C

2 8

=28線段．
其中長(zhǎng)度等于1的有8條：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；長(zhǎng)度等于

2

的由4條：EF、FG、GH、HE；長(zhǎng)度等于2的有6條：AB、BC、CD、DA、EG、
FH；長(zhǎng)度等于

5

的有8條，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；長(zhǎng)度等于2

2

的由2條AC、BD．
∴ξ的所有可能的取值為1，

2

，2，

5

，2

2

．
則P（ξ=1）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=

2

）=

4

28

=

1

7

，P（ξ=2）=

6

28

=

3

14

，P（ξ=

5

）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=2

2

）=

2

28

=

1

14

．
隨機(jī)變量ξ的分布列為

Eξ=1×

2

7

+

2

×

1

7

+2×

3

14

+

5

×

2

7

+2

2

×

1

14

=

5+2 2 +2 5

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用古典概型的概率計(jì)算公式求幾何概率及其分布列和數(shù)學(xué)期望，正確求出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積和長(zhǎng)度以及要求的事件的區(qū)域的面積和長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．