Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足2a₅=a₇-a₆，且存在兩項(xiàng)a_n，a_m滿足

anam

=4a1，則

4

n

+

1

m

的最小值為（　　）

• A．

  25

  6

• B．

  5

  3

• C．

  3

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出n、m滿足的關(guān)系式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答：解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足2a₅=a₇-a₆，∴2a5=a5q2-a5q，q＞0，化為q²-q-2=0，解得q=2．
∵存在兩項(xiàng)a_n，a_m滿足

anam

=4a1，∴

a1qn-1a1qm-1

=4a₁，化為2^n+m-2=2⁴，∴n+m=6．
∴

4

n

+

1

m

=

1

6

（n+m）(

4

n

+

1

m

)=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+2

n m × 4m n )

=

3

2

．當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

4m

n

，m+n=6即m=2，n=4時(shí)取等號(hào)．
∴

4

n

+

1

m

的最小值為

3

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．