Question

（2008•奉賢區(qū)模擬）對于函數(shù)f（x）=x•sinx，給出下列三個命題：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）是周期函數(shù)；③f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為

π

2

．正確的是

①

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：①研究函數(shù)的奇偶性，可用偶函數(shù)的定義來證明之；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對立面的形式說明其不成立；
③研究函數(shù)的單調(diào)性，可用兩個函數(shù)相乘時單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷．

解答：解：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，①正確；
對于②，當(dāng)x=2kπ+

π

2

時，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會是周期函數(shù)，故②錯；
對于③，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在x=

π

2

時f'（x）＞0，f（

π

2

）=

π

2

；
所以在x=

π

2

的右邊，函數(shù)值繼續(xù)增大，故f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值大于

π

2

，故③錯．
故答案為：①．

點評：本題考點是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準(zhǔn)確運用相應(yīng)的知識準(zhǔn)確解題．