Question

農(nóng)戶計(jì)劃將已有的一塊半徑為100米的土地（如圖所示）重新規(guī)劃，擬將面積相等的兩個(gè)△AOD與△BOC置為普通花草地，△COD置為特級(jí)花草地，O為半圓圓心，∠COB=θ，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，特級(jí)花草市場(chǎng)銷售價(jià)變化不大，普通花草市場(chǎng)銷售價(jià)變化較大，以往經(jīng)驗(yàn)顯示：特級(jí)花草地每平方米年利潤(rùn)為a元，普通花草地每平方米年利潤(rùn)為asinθ元．
（1）分別寫出△BOC、△AOD、△COD的面積關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系；
（2）寫出農(nóng)戶年總利潤(rùn)f（θ）關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)θ為何值時(shí)，年總利潤(rùn)f（θ）最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積等于

1

2

absinC，求出S_△BOC、S_△AOD 以及S_△COD的值．
（2）農(nóng)戶年總利潤(rùn)f（θ）等于特級(jí)花草地的利潤(rùn)加上普通花草地的利潤(rùn)，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f（θ）為50

2

asin（2θ-

π

4

）+50a，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（θ）的最大值以及f（θ）最大時(shí)θ的值．

解答：解：（1）由題意可得 S_△BOC=

1

2

×102 sinθ=S_△AOD，其中 0＜θ＜

π

2

．
S_△COD=

1

2

×102sin（π-2θ）=

1

2

×102sin2θ．
（2）農(nóng)戶年總利潤(rùn)f（θ）等于特級(jí)花草地的利潤(rùn)加上普通花草地的利潤(rùn)，而年利潤(rùn)等于每平方米年利潤(rùn)乘以面積，
故f（θ）=a•

1

2

×102sin2θ+asinθ•（2•

1

2

×102 sinθ ）
=50asin2θ+100a•sin²θ=50asin2θ+100a

1-cos2θ

2

=50asin2θ-50acos2θ+50a
=50

2

a sin（2θ-

π

4

）+50a．
故當(dāng)2θ-

π

4

=

π

2

，即θ=

3π

8

時(shí)，總利潤(rùn)f（θ）取得最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的模型的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域以及正弦函數(shù)取得最大值的條件，屬于中檔題．