Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，Q是PA的中點(diǎn)，BD⊥CQ，PA=PC，PB=3，∠ABC=60°．
（1）求證：PC∥平面BDQ； 
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接QO，利用三角形的中位線定理即可證得PC∥QO，進(jìn)而證明PC∥平面BQD．
（2）利用已知條件先證明PO⊥底面ABCD，進(jìn)而可求出體積．

解答：解：（1）如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接QO，PO．
∵底面ABCD是菱形，∴OA=OC，
又∵PQ=QA，∴QO∥PC．
而PC?平面BQD，QO?平面BQD，
∴PC∥平面BQD．
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴對(duì)角線BD⊥AC，
又已知BD⊥QC，BD∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，從而可得BD⊥PO．
∵PB=PC，OA=OC，∴PO⊥AC．
而B(niǎo)D∩AC=O，∴PO⊥底面ABCD．
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴BO=

3

．
在Rt△POB中，PO=

PB2-BO2

=

32-( 3 )2

=

6

．
可求S_菱形ABCD=2²×sin60°=2

3

．
∴V_{四棱錐P-ABCD}=

1

3

×2

3

×

6

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行和線面垂直及體積，充分理解和運(yùn)用其判定定理是解題的關(guān)鍵．