Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為，AA₁=2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是平面A₁BCD₁內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A．π
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：由題意畫(huà)出幾何體的圖形，判斷滿足橢圓的點(diǎn)P的位置是圖中線段EF，求出EF的長(zhǎng)度即可．
解答：解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為，AA₁=2，
點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是平面A₁BCD₁內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
且滿足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距離相等，
如圖，P在平面A₁D₁CB中GN（G是A₁B的中點(diǎn)，N是D₁C的中點(diǎn)）的線段EF，
滿足GE=FN=，Q為GN的中點(diǎn)，GM==，ME=2，
所以EQ==1，同理QF=1，
所以EF=2，
∴點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)線面間距離的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．考查空間想象能力．