Question

（本題滿分15分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，經(jīng)過點，離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓的左、右頂點分別為、，點為直線上任意一點（點不在軸上），

連結(jié)交橢圓于點，連結(jié)并延長交橢圓于點，試問：是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】(1)由離心率和橢圓上的一個點可建立關(guān)于a,b的兩個方程，然后求解即可.

(II)先根據(jù)拋物線方程和橢圓方程解出A，然后設(shè)：，則：，由l₁與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理可求出,同理可求出,然后再根據(jù),得到m關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，由k>0,可確定m的取值范圍.

（Ⅰ）的焦點為，的焦點為，

由條件得

所以拋物線的方程為

（Ⅱ）由得，交點

設(shè)：，則：，

設(shè)

將代入得：，

由韋達(dá)定理得：，；

同理，將代入得：，

由韋達(dá)定理得：，，

所以

因為，所以