Question

已知函數(shù)的最大值為0，其中。

（1）求的值；

（2）若對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（3）證明：

 

Answer 1

【答案】

（1） ;（2）;（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的特征可對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)等于零，可求出函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上單調(diào)增，導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上單調(diào)減，就可用表示出函數(shù)的最大值進(jìn)而求出;（2）先定性分析的范圍，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，易得，即可得出矛盾，進(jìn)而只有小于零，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后得出導(dǎo)數(shù)為零的，再根據(jù)與零的大小關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)要以為界進(jìn)行討論，又由結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性不難得出只有時(shí)不等式 恒成立; （3）當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立; 當(dāng)時(shí)，首先結(jié)合（1）中所求函數(shù)得出求和的表達(dá)式，這樣與所要證不等式較近了，再結(jié)合（2）中所證不等式，取的最大值，即，兩式相結(jié)合，最后用放縮法可證得所要證明不等式．

試題解析：（1） 定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014033004243177954158/SYS201403300425057013156242_DA.files/image018.png">

,由=0，得 .        1分

當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下

	(-a,1-a)	1-a	(1-a,+∞)
	+	0	-
	增	極大值	減

因此，在 處取得最大值，故 ,所以 .       3分

（2）當(dāng)時(shí)，取有，故不合題意;當(dāng)時(shí)，令，令，得，①時(shí)，中恒成立，因此在單調(diào)遞增，從而對(duì)任意的，總有，即在恒成立．故符合題意; ②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，故在內(nèi)單調(diào)遞減，因此取，即不成立，故不合題意，綜上，的最大值為.

（3）當(dāng) 時(shí)，不等式左邊右邊，不等式成立.

當(dāng)時(shí)，

   10分

在（2）中取

∴

 =

   .

綜上，           12分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用;2.數(shù)列求和;3.不等式的證明