Question

過(guò)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A₁在空間作直線(xiàn)l，使l與直線(xiàn)AC和BC₁所成的角都等于，則這樣的直線(xiàn)l共可以作出（ ）
A．1條
B．2條
C．3條
D．4條

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以直線(xiàn)AC和BC₁所成的角即為直線(xiàn)AC和AD₁所成的角，所以過(guò)A₁在空間作直線(xiàn)l，使l與直線(xiàn)AC和BC₁所成的角都等于，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)A在空間作直線(xiàn)l，使l與直線(xiàn)AC和AD₁所成的角都等于．可分在平面ACD₁內(nèi)和在平面ACD₁外兩種情況尋找．因?yàn)橐�與直線(xiàn)AC和AD₁所成的角都相等，故在平面ACD₁內(nèi)可考慮角平分線(xiàn)；在平面ACD₁外可將角平分線(xiàn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)考慮．
解答：解：因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以直線(xiàn)AC和BC₁所成的角即為直線(xiàn)AC和AD₁所成的角，所以過(guò)A₁在空間作直線(xiàn)l，使l與直線(xiàn)AC和BC₁所成的角都等于，即過(guò)點(diǎn)A在空間作直線(xiàn)l，使l與直線(xiàn)AC和AD₁所成的角都等于．
因?yàn)椤螦CD₁=60°，∠ACD₁的外角平分線(xiàn)與AC和AD₁所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD₁內(nèi)有一條滿(mǎn)足要求．
因?yàn)椤螦CD₁的角平分線(xiàn)與AC和AD₁所成的角相等，均為30°，將角平分線(xiàn)繞點(diǎn)A向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與面ACD₁垂直的過(guò)程中，存在兩條直線(xiàn)與直線(xiàn)AC和BC₁所成的角都等于，故符合條件的直線(xiàn)有3條．
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．