Question

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)的和．對(duì)于n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列{T_n}的前n項(xiàng)和為R_n，求證：當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，R_n-1=n（T_n-1）；
（3）若函數(shù)f(x)=

1

(p-1)•3qx+1

的定義域?yàn)镽_n，并且

lim

n→∞

f(an)=0(n∈N*)，求證p+q＞1．

Answer 1

（1）由已知n∈N^*時(shí)，2S_n=a_n+a_n²總成立．∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2），
兩式作差，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），∵a_n、a_n-1均為正數(shù)．∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．∴{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
又n=1時(shí)，2S₁=2a₁=a₁+a₁²，得a₁=1，故a_n=n．…（4分）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，R1=T1=

1

a1

=1，2(T2-1)=2(

1

a1

+

1

a2

-1)=1．∴n=2時(shí)，等式成立
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，

Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk+1- 1 ak+1 )-k =(k+1)(Tk+1- 1 k+1 )-k=(k+1)(Tk+1-1+1- 1 k+1 )-k=(k+1)(Tk+1-1). 當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.

綜合①和②，可知所要證明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，則f(x)=

1

p

，

lim

n→∞

f(an)不是0，∴q≠0，∵f（x）定義域?yàn)镽，
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(

1

3q

)x恒成立．由于q≠0時(shí)，-(

1

3q

)x的值域?yàn)椋?∞，0），
∴p-1≥0，又當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=1.

lim

n→∞

f(an)≠0，
∴p＞1．
∵

lim

n→∞

f(an)=

lim

n→∞

1

(p-1)•3qn+1

=

1 0＜3q＜1 1 p 3q=1 ，， left 0&3q ＞ 1

∴3^q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分