Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實數(shù)），滿足a-b+c=0，對于任意實數(shù)x都有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，有，
（1）求f（1）的值；
（2）求ac的最小值；
（3）當x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函數(shù)F（x）=f（x）-mx（m為實數(shù)）是單調(diào)的，求m取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)1≤f（1）≤²可得答案．
（2）由f（1）=a+b+c=1，a-b+c=0解出b=a+c=，再由基本不等式得到答案．
（3）根據(jù)（2）求出abc的值確定f（x）的解析式可得到F（x）的解析式，再根據(jù)F（x）在[-2，2]單調(diào)可求出m的值．
解答：解：（1）∵對于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且當x∈（0，2）時，
有f（x）≤，
令x=1
∴1≤f（1）≤，
即f（1）=1；
（2）由a-b+c=0及f（1）=1，
有，可得b=a+c=，
又對任意x，f（x）-x≥0，
即ax²-x+c≥0，
∴a＞0且△≤0，
即-4ac≤0，解得ac≥，
即ac的最小值為；
（3）由（2）可知a＞0，c＞0，
a+c≥2≥2•=，
當且僅當時等號成立，
此時a=c=，
∴f（x）=x²+x+，
F（x）=f（x）-mx=[x²+（2-4m）x+1]，
當x∈[-2，2]時，f（x）是單調(diào)的，
所以F（x）的頂點一定在[-2，2]的外邊，
∴≥2、解得m≤-或m≥．
點評：本題主要考查一元二次函數(shù)的解析式問題，其中還用到基本不等式的有關(guān)問題．一元二次函數(shù)的單調(diào)性是每年必考內(nèi)容，當開口向上是對稱軸右邊增左邊減，當開口向下時對稱軸左邊增右邊減．