Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的極大值；

（Ⅱ）若對滿足的任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（這里是自然對數(shù)的底數(shù)）；

（Ⅲ）求證：對任意正數(shù)、、、，恒有

．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極大值為．（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析。

【解析】（Ⅰ）

∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為和．極大值為．

（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時(shí)，的最大值為．

∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而

（Ⅲ）設(shè)

則．

∴當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，

又當(dāng)、、、是正實(shí)數(shù)時(shí)，

∴．

由的單調(diào)性有：，

即．