Question

（1）求經(jīng)過(guò)直線l₁：x+y-1=0與直線l₂：2x-3y+8=0的交點(diǎn)M，且與直線2x+y+5=0平行的直線l的方程；
（2）已知點(diǎn)A（1，1），B（2，2），點(diǎn)P在直線l上，求|PA|²+|PB|²取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1） 由

x+y-1=0 2x-3y+8=0

，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行關(guān)系求出斜率，點(diǎn)斜式求得直線方程．
（2）設(shè)P（t，-2t），利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|PA|²+|PB|²=10t²+6t+10，故當(dāng) t=-

3

10

時(shí)，
|PA|²+|PB|²取得最小值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由

x+y-1=0 2x-3y+8=0

，解得

x=-1 y=2

，所以交點(diǎn)為（-1，2）．
∵所求直線與直線2x+y+5=0平行，∴k=-2，∴直線方程為2x+y=0．
（2）設(shè)P（t，-2t），則|PA|²+|PB|²=（t-1）²+（-2t-1）²+（t-2）²+（-2t-2）²=10t²+6t+10，
故當(dāng) t=-

3

10

時(shí)，|PA|²+|PB|²取得最小值，此時(shí)，P(-

3

10

，

3

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)．求出|PA|²+|PB|²的表達(dá)式
是解題的關(guān)鍵．