Question

過(guò)拋物線y²=4x頂點(diǎn)O的直線l₁、l₂與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，l₁⊥l₂，OD⊥AB，垂足為D，則D點(diǎn)的軌跡方程為（　�。�

A．y2=x（x≠0）	B． x2 4 -y2=1(x≥2）
C．（x-2）2+y2=4（x≠0）	D．（x-2）2+y2=4

Answer 1

設(shè)直線OA的方程為y=kx，則

y=kx y2=4x

，消去y得x=

4

k2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

4

k2

，

4

k

），
∵l₁⊥l₂，
∴直線OA的方程為y=-

1

k

x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4k²，-4k），
則直線AB的斜率為

4 k +4k

4 k2 -4k2

=

k

1-k2

，
∴直線AB的方程為y+4k=

k

1-k2

（x-4k²），
整理可得，y=

k

1-k2

（x-4），
故直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（4，0），
∵OD⊥AB，垂足為D，則OD的垂直平分線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），
∴點(diǎn)（2，0）到原點(diǎn)O的距離等于到點(diǎn)D的距離，
又點(diǎn)（2，0）到原點(diǎn)O的距離為2，
∴點(diǎn)D到定點(diǎn)（2，0）的距離恒為定值2，
根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)D的軌跡是一個(gè)以（2，0）為圓心，2為半徑的一個(gè)圓，
∴點(diǎn)D的軌跡方程為（x-2）²+y²=4，
故選：D．