Question

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，記函數(shù)f（x）=x-kg（x）（x≥2，k為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)可得到f（x₁）-f（x₂）關(guān)于x₁，x₂的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)x₁，x₂∈（2，+∞）恒成立的問題，即可得到k的取值．
（2）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后分兩種情況討論，當(dāng)k≤0時(shí)易知函數(shù)f（x）是增函數(shù)，可直接求出值域；當(dāng)k＞0時(shí)，又分三種情況k＞1、k=1、0＜k＜1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況進(jìn)行討論，從而可得到函數(shù)的單調(diào)性確定值域．
解答：解：（1）因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，
所以對(duì)任意的x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂恒有f（x₁）-f（x₂）＞0成立．
即恒成立．
因?yàn)閤₂-x₁＞0，所以對(duì)x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂時(shí)，恒成立．
又＜1，所以k≥1．
（2）．
下面分兩種情況討論：
（1）當(dāng)k≤0時(shí)，是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180414638709833/SYS201310241804146387098018_DA/6.png">
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，又分三種情況：
①當(dāng)k＞1時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180414638709833/SYS201310241804146387098018_DA/7.png">，所以，即f'（x）＜0．
所以f（x）是減函數(shù)，．
又，
當(dāng)x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180414638709833/SYS201310241804146387098018_DA/11.png">．
②當(dāng)k=1時(shí)，，
且f（x）是減函數(shù)，故f（x）值域是．
③當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f'（x）是增函數(shù)，
，．
下面再分兩種情況：
（a）當(dāng)時(shí)，f'（x）=0的唯一實(shí)根，
故f'（x）＞0（x≥2），是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180414638709833/SYS201310241804146387098018_DA/19.png">；
（b）當(dāng)時(shí)，f'（x）=0的唯一實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0；
所以f（x）．故f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180414638709833/SYS201310241804146387098018_DA/25.png">．
綜上所述，f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180414638709833/SYS201310241804146387098018_DA/26.png">；
（）；（k=1）；（k＞1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域．導(dǎo)數(shù)是高考必考點(diǎn)，要重視．