Question

二次函數(shù)f（x）=px²+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足

p

m+2

+

q

m+1

+

r

m

=0，其中m＞0，求證：
（1）pf（

m

m+1

）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)恒有解．

Answer 1

分析：（1）把x=

m

m+1

代入原函數(shù)，利用題設(shè)中p、q、r的關(guān)系進一步證明．
（2）先對p進行分類討論，再對r進行分類討論．

解答：證明：（1）pf（

m

m+1

）
=p[p（

m

m+1

）²+q（

m

m+1

）+r]
=pm[

pm

(m+1)2

+

q

m+1

+

r

m

]
=pm[

pm

(m+1)2

-

p

m+2

]
=p²m[

m(m+2)-(m+1)2

(m+1)2(m+2)

]
=p²m[-

1

(m+1)2(m+2)

]．
由于f（x）是二次函數(shù)，故p≠0．
又m＞0，所以pf（

m

m+1

）＜0．
（2）由題意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r．
①當(dāng)p＞0時，由（1）知f（

m

m+1

）＜0．
若r＞0，則f（0）＞0，又f（

m

m+1

）＜0，
∴f（x）=0在（0，

m

m+1

）內(nèi)有解；
若r≤0，則f（1）=p+q+r=p+（m+1）（-

p

m+2

-

r

m

）+r=

p

m+2

-

r

m

＞0，
又f（

m

m+1

）＜0，
所以f（x）=0在（

m

m+1

，1）內(nèi)有解．
因此方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)恒有解．
②當(dāng)p＜0時，同樣可以證得結(jié)論．

點評：（1）題目點明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項系數(shù)p≠0，若將題中的“二次”兩個字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改．
（2）對字母p、r分類時先對哪個分類是有一定講究的．本題的證明中，先對p分類，然后對r分類顯然是比較好的．