Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，以雙曲線的半焦距c為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為A，與y軸正半軸的交點為B，點A在y軸上的射影為H，
且

OH

=(0，

3

2

c)．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若AF₁交雙曲線于點M，且

F1M

=λ

MA

，求λ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意與

OH

=(0，

3

2

c)，可求A(

c

2

，

3

2

c)，A在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，將點A的坐標(biāo)代入，
整理后利用a²+b²=c²即可求得雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率；
（2）由

F1M

=λ

MA

，結(jié)合已知條件可求得M(

(λ-2)c

2(1+λ)

，

3 λc

2(1+λ)

)，將點A、M的坐標(biāo)代入

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，得到方程組，從而轉(zhuǎn)化為離心率與λ的函數(shù)關(guān)系，從而可求得λ．

解答：解：（1）由已知F₁（-c，0），點A在y軸上的射影為H，…（1分）
∵

OH

=(0，

3

2

c)
∴H(0，

3

2

c)，A(

c

2

，

3

2

c)∵A在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1…（4分）．
b²c²-3a²c²=4a²b²，c⁴-8a²c²+4a⁴=0，e⁴-8e²+4=0
e2=4+2

3

，e=

3

+1…（6分）
（2）∵

F1M

=λ

MA

∴M(

(λ-2)c

2(1+λ)

，

3 λc

2(1+λ)

)…（8分）
由A，M都在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
得

c2 4a2 - 3c2 4b2 =1…(1) c2(λ-2)2 4a2(1+λ)2 - 3c2λ2 4b2(1+λ)2 =1…(2)

…（10分）
由（1）得 

c2

b2

=

e2-4

3

代入（2）

e2(λ-2)2

4(1+λ)2

-

(e2-4)λ2

4(1+λ)2

=1，
λ=

e2-1

e2+2

=

3 +1

4

…（12分）

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，著重考查學(xué)生解方程組與綜合應(yīng)用a²，b²，c²，及離心率e之間的關(guān)系，屬于難題．