Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點，求圓在，處兩條切線的交點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）圓的極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）由題意結(jié)合直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式可得圓的極坐標(biāo)方程；轉(zhuǎn)化直線的極坐標(biāo)方程為，再利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式即可得直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）由題意聯(lián)立方程組可得，的坐標(biāo)，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)、直線方程的求解即可得兩切線方程，聯(lián)立方程即可得解.

（1）圓的方程可變?yōu)?/span>，

所以圓的極坐標(biāo)方程為即；

直線的極坐標(biāo)方程可變?yōu)?/span>，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為即；

（2）由題意聯(lián)立方程組，解得或，

不妨設(shè)點，，設(shè)過，處的切線分別為，，

圓的圓心為，半徑為，

易得，

由直線的斜率可得直線的斜率，

所以直線的方程為即，

由可得，

所以圓在，處兩條切線的交點坐標(biāo)為.