Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線l過定點(diǎn)A（1，0）且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）若以弦PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，求p的值；
（2）在（1）的條件下，若

FP

+

FQ

=

FR

，求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先看斜率不存在時(shí)，把x=1代入拋物線方程求得y，弦PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，求得p；在看斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁x₂和x₁+x₂的表達(dá)式進(jìn)而求得y₁y₂，以弦PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，求得p，綜合答案可得．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)

FP

+

FQ

=

FR

可知

FO

+

OP

+

FO

+

OQ

=

FO

+

OR

進(jìn)而把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理得x=x1+x2-

1

4

且y=y1+y2，進(jìn)而分別看直線斜率存在和不存在兩種情況下x和y的關(guān)系．

解答：解：（1）①若直線l為x=1，將x=1代入y²=2px得y²=2p，
以弦PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，有2p=1，∴p=

1

2

②若直線l不是x=1，設(shè)直線方程為：y=kx-k，
將y=kx-k代入y²=2px得k²x²-（2p+2k²）x+k²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=

2p+2k2

k2

x₁x₂=1，
故y₁y₂=-2p
以弦PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0=1-2p，
∴p=

1

2

又此時(shí)△=4p²+8pk²＞0，
綜合①②得p=

1

2

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y）
∵

FP

+

FQ

=

FR

∴

FO

+

OP

+

FO

+

OQ

=

FO

+

OR

∴(-

1

4

，0)+(x1，y1)+(x2，y2)=(x，y)
∴x=x₁+x₂-

1

4

且y=y₁+y₂①直線l為x=1時(shí)，∴x=x₁+x₂-

1

4

=

7

4

，y=y1+y2=0②當(dāng)直線l不是x=1時(shí)，x=

2p+2k2

k2

-

1

4

y=k(x1+x2)-2k=

2p

k

即得：x=2py²+

7

4

=y2+

7

4

，所以y2=x-

7

4

又因?yàn)辄c(diǎn)(

7

4

，0)在y²=x-

7

4

上，所以由①②得R點(diǎn)的軌跡方程為：y²=x-

7

4

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，直線與拋物線的關(guān)系．解題時(shí)要注意討論直線斜率不存在時(shí)的情況．