Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（文）（Ⅲ）利用ln（x+1）≤x，求證：ln{(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}＜1（其中n∈N^*，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅲ）求證：(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e（其中n∈N^*，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，等價(jià)于ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，設(shè)g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，分類討論，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)a=0時(shí)，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用裂項(xiàng)法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可證結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=-

1

4

時(shí)，f(x)=-

1

4

x2+ln(x+1)（x＞-1），f′(x)=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x+2)(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）解：因當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，設(shè)g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．（5分）
由g′(x)=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
（�。┊�(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=

-x

x+1

，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，因x∈[0，+∞），所以x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，g'（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值（或：當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞），此時(shí)不滿足條件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在(0，

1

2a

-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

1

2a

-1，+∞)上單調(diào)遞增，同樣g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值，不滿足條件．（8分）
（ⅲ）當(dāng)a＜0時(shí)，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）證明：據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)a=0時(shí)，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立（11分）
又

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)，
∵ln{(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}=ln(1+

2

2×3

)+ln(1+

4

3×5

)+ln(1+

8

5×9

)+…+ln[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]=2[(

1

2

-

1

2n+1

)]＜1，
∴(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．