Question

【題目】設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】(1) .

（2）.

【解析】分析：（1）運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線OM的斜率，進(jìn)而得證；

（2）由（1）知，橢圓方程設(shè)為，設(shè)PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式，解方程即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程.

詳解：（1）∵，，，所以.

∴，解得，

于是，∴橢圓的離心率為.

（2）由（1）知，∴橢圓的方程為即①

依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.

由對(duì)稱(chēng)性可知，與軸不垂直，設(shè)其直線方程為，代入①得：

，

設(shè)，，則，，

由得，解得.

于是.于是

.

解得：，，∴橢圓的方程為.