Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A．f（x）的最小正周期為π，且在[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]為減函數(shù)
• B．f（x）的最小正周期為π，且在[0，

  π

  6

  ]上為增函數(shù)
• C．f（x）的圖象關(guān)于x=

  π

  3

  對(duì)稱
• D．f（x）的圖象關(guān)于(

  π

  4

  ，0)對(duì)稱

Answer 1

分析：由正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)可得出對(duì)稱軸為kn+

π

2

，令函數(shù)解析式中的角度等于此值，求出x的值，根據(jù)k為正整數(shù)可得x=

π

3

不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；正弦函數(shù)關(guān)于kπ對(duì)稱，令角度等于此值，求出x的值，再根據(jù)k為正整數(shù)，得出函數(shù)圖象不關(guān)于（

π

4

，0）對(duì)稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；再由函數(shù)解析式找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分別求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增及遞減區(qū)間，即可對(duì)選項(xiàng)A和B作出判斷．

解答：解：令2x+

π

3

=kn+

π

2

，解得：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），
∴x=

π

3

不是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
令2x+

π

3

=kπ，解得：x=

kπ

2

-

π

6

，
∴f（x）的圖象不關(guān)于（

π

4

，0）對(duì)稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
由函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
∵[

π

6

，

π

2

]是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]的子集，
則f（x）在[

π

6

，

π

2

]為減函數(shù)，
故選項(xiàng)A正確；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

5π

6

≤x≤kπ+

π

12

，
選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握周期公式及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．