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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          (2012•朝陽區(qū)二模)在平面直角坐標系xOy中,點E到兩點F1(-1,0),F2(1,0)的距離之和為2
          2
          ,設點E的軌跡為曲線C.
          (1)寫出C的方程;
          (2)設過點F2(1,0)的斜率為k(k≠0)的直線l與曲線C交于不同的兩點M,N,點P在y軸上,且|PM|=|PN|,求點P縱坐標的取值范圍.
          分析:(1)由橢圓的定義可知,點E的軌跡C是以兩定點F1(-1,0)和F2(1,0)為焦點,長半軸長為2
          2
          的橢圓,由此可得曲線C的方程;
          (2)先寫出直線MN的方程為y=k(x-1),聯立直線與橢圓方程,設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點E(x0,y0),根據方程的根與系數的關系可求x1+x2,y1+y2=k(x1+x2-2),然后由PM=PN且P在y軸上,設p (0,b),利用兩點間的距離公式可求b與k的關系,然后結合△>0可求b的范圍
          解答:解:(1)由橢圓的定義可知,點E的軌跡是以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點,以2
          2
          為長軸的橢圓
          ∵c=1,a=
          2

          ∴b=1
          ∴C的方程為
          x2
          2
          +y2=1

          (2)由題意可得,直線MN的方程為y=k(x-1)
          聯立方程
          y=k(x-1)
          x2
          2
          +y2=1
          可得,(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0
          設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點E(x0,y0
          則x1+x2=
          4k2
          1+2k2
          ,y1+y2=k(x1+x2-2)=
          -2k
          1+2k2

          且△=16k4-8(1+2k2)(k2-1)>0
          即1+k2>0
          ∵PM=PN且P在y軸上,設p (0,b)
          x12+(y1-b)2=x22+(y2-b)2
          整理可得,(x1-x2)(x1+x2)=(y2-y1)(y2+y1-2b)
          ∴x1+x2=k(y1+y2-2b)
          代人可得,
          4k2
          1+2k2
          =k(
          -2k
          1+k2
          -2b)

          ∴b=-
          k
          1+2k2

          ∴2bk2+k+b=0
          ∴△=1-8b2>0
          -
          2
          4
          <b<
          2
          4
          點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理的運用,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
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          3
          sinxcosx-cos2x+m(m∈R)
          的圖象過點M(
          π
          12
          ,0).
          (1)求m的值;
          (2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若ccosB+bcosC=2acosB,求f(A)的取值范圍.

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          2
          a
          2
           
          x
          (a≠0)

          (1)已知曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l的斜率為2-3a,求實數a的值;
          (2)討論函數f(x)的單調性;
          (3)在(1)的條件下,求證:對于定義域內的任意一個x,都有f(x)≥3-x.

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          x-y+1≤0
          x≤0
          則x2+y2的最小值是
          1
          2
          1
          2

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          (2012•朝陽區(qū)二模)已知函數f(x)=
          2,x>m
          x2+4x+2,x≤m
          的圖象與直線y=x恰有三個公共點,則實數m的取值范圍是( 。

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