Question

已知數(shù)列{}中，（t＞0且t≠1）．若是函數(shù)的一個極值點(diǎn)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{₊₁﹣}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，當(dāng)t=2時，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為，求使＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)t=2時，求證：對于任意的正整數(shù)n，有 ．

Answer 1

解：（Ⅰ）．
由題意，即，
∴₊₁﹣=t（﹣_﹣1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，
∴數(shù)列{₊₁﹣}是以t²﹣t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，
∴₊₁﹣=（t²﹣t）t^n﹣1=（t﹣1）tⁿ
∴a₂﹣a₁=（t﹣1）t
a₃﹣a₂=（t﹣1）t²
…
﹣_﹣1=（t﹣1）t^n﹣1
以上各式兩邊分別相加得，
∴，
當(dāng)n=1時，上式也成立，
∴
（Ⅱ）當(dāng)t=2時，
∴=2n﹣（1+++…+）=．
由＞2008，得，，
當(dāng)n≤1004時，n+＜1005，
當(dāng)n≥1005時，n+＞1005，
因此n的最小值為1005．
（Ⅲ）∵
∴=
=