Question

【題目】四棱錐中，平面，，，，，．

（1）求證: 平面平面;

（2）為棱上異于的點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形，證得，又由平面，得到 ，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．

（2）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用以，求得，得到，再求得平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）證明：在與中，因?yàn)?/span>， ，

所以，,即，所以.

因?yàn)?/span>,所以,所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，所以 ，

又，所以平面，

又平面， 所以平面平面．

（2）過(guò)作，因?yàn)?/span>平面，所以平面，即兩兩相垂直，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，，

所以，，，，，

，，，

設(shè)，．則，

.

因?yàn)?/span>，所以，即，

解得，或．因?yàn)?/span>，所以．

所以，即．

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

所以取，

設(shè)直線與平面所成角為，

,

所以直線與平面所成角的正弦值．