Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。

已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。

若，是否存在，有說明理由；

找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,,并說明理由；

若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。

Answer 1

解：（1）由，                      ……2分

整理后，可得，_，為整數(shù)，

不存在_{，使等式成立。}                       ……5分

（2）解法一：若即，        （*）

（ⅰ）若，

當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。   ……7分

（ⅱ）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才可能等于1，此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，∴，矛盾。

綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。

……10分

解法二：設(shè)，若，對(duì)都成立，且為等比數(shù)列，

則，對(duì)都成立，即，

，對(duì)都成立，

                                    ……7分

（ⅰ）若，。

（ⅱ）若，則（常數(shù)），即，則，矛盾

綜上所述，，使對(duì)一切，       ……10分

（3），

設(shè)

，

，，            ……13分

取，……15分

由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)，使得，

存在整數(shù)滿足要求。

故當(dāng)且僅當(dāng)，命題成立。                            ……18分

說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）

若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但為奇數(shù)。

故此等式不成立，一定為奇數(shù)。                         ……1分

當(dāng)時(shí)，則，

而

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，存在，使成立，                  ……1分

當(dāng)時(shí)，則，

也即，，

由已證可知，當(dāng)為偶數(shù)即為奇數(shù)時(shí)，存在，成立，……2分

當(dāng)時(shí)，則，

也即，而不是5的倍數(shù)，當(dāng)所要求的不存在，

故不是所有奇數(shù)都成立。                                        ……2分