Question

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求CM與平面CDE所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以CB，CA所在直線為x，y軸，過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出線對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)論．
（2）寫出直線的方向向量，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，數(shù)量積等于0，得到兩個關(guān)于法向量坐標(biāo)的關(guān)系式，寫出其中一個法向量，根據(jù)法向量與直線的夾角得到結(jié)果．
解答：（1）分別以CB，CA所在直線為x，y軸，過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz
設(shè)AE=a，則M（a，-a，0），E（0，-2a，a），
所以，
∴，
∴CM⊥EM．
（2），
設(shè)平面CDE的法向量=（x，y，z），
則有即令y=1，則=（-2，1，2），，
∴直線CM與平面CDE所成的角為45°
點(diǎn)評：本題考查利用空間向量的語言來描述線面之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)．